مفهوم النهايات

النهاية في الرياضيات، هي مفهوم أساسي في التفاضل والتكامل، وهي وببساطة القيمة التي تقترب منها قيمة دالة ما لدى اقتراب المتغير السيني من قيمة معينة (حتى يكاد الفرق بين هذه القيمة القريبة والقيمة الحقيقية يصل الصفر؛ قد يساويه إذا كانت الدالة ثابتة مثلا). نشأ مفهوم النهاية في إطار الحاجة لحساب الأطوال والمساحات والأحجام لأشكال مثل الدائرة والكرة، ويعد مفهوم النهاية تطويرا لطريقة الاستنفاذ التي عرفها اليونانيون القدماء والتي استخدمها أرخميدس لحساب مساحة الدائرة.

ويتلخص مفهوم النهاية في أنه طريقة لإيجاد القيمة التي يجب أن يأخذها متغير تابع عندما يؤول المتغير المستقل إلى قيمة معينة، وذلك حتى عندما يتعذر حساب المتغير التابع مباشرة من قواعد الحساب والجبر.

كمثال: ما القيمة التي يصل إليها المقدار $مفهوم النهايات 46bc3a27db42d975eab2e38d38d7c70a$ عندما تؤول $مفهوم النهايات 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6$ إلى الصفر؟

من الواضح أن التعويض المباشر في هذه الصيغة يعطي خارج قسمة صفر على صفر، وهي كمية غير معينة، لذلك نلاحظ أن المقدار $مفهوم النهايات 46bc3a27db42d975eab2e38d38d7c70a$ أقل من الواحد الصحيح وأكبر من $مفهوم النهايات 96eb9bf5314b593783ee57983efbed9d$ لأي قيمة للمتغير $مفهوم النهايات 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6$ قريبة من الصفر، وحيث أن $مفهوم النهايات B3039ebe72d2940b71de612dd182a275$ فإننا نستنتج أن نهاية المقدار $مفهوم النهايات 46bc3a27db42d975eab2e38d38d7c70a$ هي الواحد.

مثال آخر: فإذا افترضنا أن المتغير المستقل س معرف على المجال المفتوح ]+1,+2[ واقتربت س من منتصف المجال +1.5 دون أن تصل لها, ورافق ذلك أن الدالة تا(س)= س - 1.5 تقترب نتيجة ذلك من القيمة ولنقل (0) فهذا يعني أن نهاية التابع تا(س) هي 0 عندما تقترب س من القيمة +1.5.

إذا افترضنا أن الدالة $مفهوم النهايات 8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7$ معرفة على المجال المفتوح الذي يحتوي العدد $مفهوم النهايات 4a8a08f09d37b73795649038408b5f33$ وكان $مفهوم النهايات D20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587$ من مجموعة الأعداد الحقيقية:

وكان من أجل أي عدد $مفهوم النهايات F119194c238841fe163a4ea5f1b170bd$ يوجد عدد $مفهوم النهايات 08cfff4627cc4924610f2e3b23fb1e22$ بحيث يتحقق الشرط:

مهما كانت $مفهوم النهايات 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6$ ضمن المجال فإن:

$مفهوم النهايات 9370b4c52bf602d5b751867504666365$ فإن هذا يقتضي أن $مفهوم النهايات 83eb185cd1dead8ae4f3b89aff2f5f1a$ .

لنفترض أن الدالة (f(x هي دالة حقيقية وأن c عدد حقيقي أيضا:

عندئذ نقول:

$مفهوم النهايات Ed80e81395fb7b21643891fdd4190429$

مما يعني أن الدالة $مفهوم النهايات 50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62$ تكون قريبة جدا حسبما نريد من $مفهوم النهايات D20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587$ عندما تقترب $مفهوم النهايات 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6$ من العدد $مفهوم النهايات 4a8a08f09d37b73795649038408b5f33$ ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية $مفهوم النهايات 50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62$ , عندما تقترب $مفهوم النهايات 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6$ من $مفهوم النهايات 4a8a08f09d37b73795649038408b5f33$ , هي $مفهوم النهايات D20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587$ ).

» مفهوم المتتاليات